Não. A lógica aristotélica, por exemplo, não usa qualquer uma das pretensas três leis; a lógica proposicional também não pode sequer usar a lei da identidade. Tanto a chamada lei da não contradição como a chamada lei do terceiro excluído não são aceites em algumas lógicas; e nenhuma lógica usa estas "leis" como regras básicas ou pontos de partida.
Que a lógica aristotélica não usa qualquer uma das três leis é fácil de ver, pois não é sequer possível exprimir qualquer uma das leis na lógica aristotélica, que só permite proposições da forma "Todo o A é B", "Nenhum A é B", "Algum A é B" e "Algum A não é B".
A lógica proposicional, por sua vez, não pode exprimir a chamada "lei da identidade" (n = n) porque não pode exprimir seja o que for que envolva nomes, como "n".
Quanto à lei da não contradição, não é aceite nas lógicas paraconsistentes, assim como as lógicas intuicionistas rejeitam o terceiro excluído.
Finalmente, o mais importante é que 1) não é possível construir qualquer lógica, seja silogística ou não, com base nestas três leis apenas, e 2) para construir qualquer lógica não precisamos de usar qualquer uma dessas leis como ponto de partida. A única excepção a 2 é o caso da lei da identidade, sem a qual não é possível fazer uma lógica de predicados com identidade que seja interessante.